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立体几何学习中的图形观(1)
来源:团委 发布时间:2020-02-20 浏览:12980
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立体几何的学习离不开图形,图形是一种语言,图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系,培养空间想象能力.所以在立体几何的学习中,我们要树立图形观,通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力.

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功,对培养空间概念也有积极的意义,而且在作图时还要用到许多空间线面的关系.所以作图是解决立体几何问题的第一步,作好图有利于问题的解决.

例1  已知正方体中,点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点(如图1).作出过点P、E、F三点的正方体的截面.

分析:作图是学生学习中的一个弱点,作多面体的截面又是作图中的难点.学生看到这样的题目不知所云.有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面.其实,作截面就是找两个平面的交线,找交线只要找到交线上的两点即可.观察所给的条件(如图2),发现PE就是一条交线.又因为平面ABCD//平面,由面面平行的性质可得,截面和面的交线一定和PE平行.而F是的中点,故取的中点Q,则FQ也是一条交线.再延长FQ和的延长线交于一点M,由公理3,点M在平面和平面的交线上,连PM交于点K,则QK和KP又是两条交线.同理可以找到FR和RE两条交线(如图2).因此,六边形PERFQK就是所求的截面.

二、读图

图形中往往包含着深刻的意义,对图形理解的程度影响着我们的正确解题,所以读懂图形是解决问题的重要一环.

例2  如图3,在棱长为a的正方体中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b<a,若Q是上的定点,P在上滑动,则四面体PQEF的体积( ).

(A)是变量且有最大值  (B)是变量且有最小值  (C)是变量无最大最小值   (D)是常量

分析:此题的解决需要我们仔细分析图形的特点.这个图形有很多不确定因素,线段EF的位置不定,点P在滑动,但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素?求四面体的体积要具备哪些条件?

仔细观察图形,应该以哪个面为底面?观察,我们发现它的形状位置是要变化的,但是底边EF是定值,且P到EF的距离也是定值,故它的面积是定值.再发现点Q到面PEF的距离也是定值.因此,四面体PQEF的体积是定值.我们没有一点计算,对图形的分析帮助我们解决了问题.

三、用图

在立体几何的学习中,我们会遇到许多似是而非的结论.要证明它我们一时无法完成,这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论,这样的图形就是反例图形.若我们的心中有这样的反例图形,那就可以帮助我们迅速作出判断.

例3  判断下面的命题是否正确:底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱锥.

分析:这是一个学生很容易判断错误的问题.大家认为该命题正确,其实是错误的,但大家一时举不出例子来加以说明.问题的关键是二面角相等很难处理.我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到?

如图4,设正三棱锥的侧面等腰三角形PAB的顶角是,底角是,作的平分线,交PA于E,连接EC.可以证明是等腰三角形,所以AB=BE.同理EC=AB.那么,△EBC是正三角形,从而就是满足题设的三棱锥,但不是正三棱锥.