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立体几何学习中的图形观(2)
来源:团委 发布时间:2020-02-20 浏览:12959
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四、造图

在立体几何的学习中,我们可以根据题目的特征,精心构造一个相应的特殊几何模型,将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题.

例4  设a、b、c是两两异面的三条直线,已知,且d是a、b的公垂线,如果,那么c与d的位置关系是( ).

(A)相交             (B)平行             (C)异面             (D)异面或平行

分析:判断空间直线的位置关系,最佳方法是构造恰当的几何图形,它具有直观和易于判断的优点.根据本题的特点,可以考虑构造正方体,如图5,在正方体 中,令AB=a,BC=d,.当c为直线时,c与d平行;当c为直线时,c与d异面,故选D.

五、拼图

空间基本图形由点、线、面构成,而一些特殊的图形也可以通过基本图形拼接得到.在拼图的过程中,我们会发现一些变和不变的东西,从中感悟出这个图形的特点,找出解决待求解问题的方法.

例5  给出任意的一块三角形纸片,要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种方案,并加以简要的说明.

分析:这是2002年高考立体几何题中的一部分.这个设计新颖的题目,使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展.这是一道动作题,但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作,更重要的是一种心灵的“动作”,思维的“动作”.受题目叙述的影响,大家往往在想如何折起来?参考答案也是给了一种折的方法.那么这种方法究竟从何而来?其实逆向思维是这题的一个很好的切人点.我们思考:展开一个直三棱柱,如何还原成一个三角形?

把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分,甲内部的三角形和乙是全等的,甲的三角形外是宽相等的三个矩形.现在的问题是能否把乙分为三部分,补在甲的三个角上正好成为一个三角形(如图丙)?因为甲中三角形外是宽相等的矩形,所以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上,又由于面积要相等,所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上(如图丁).按这样的设计,剪开后可以折成一个直三棱柱.

六、变图

几何图形千变万化,在不断的变化中展示几何图形的魅力,在不断的变化中培养我们的能力,在有意无意的变化中开阔我们的思路.

例6  已知在三棱锥中,PA=a,AB=AC=2a,,求三棱锥的体积.

分析:此题的解决方法很多,但切割是不错的选择.

思路1 设D为AB的中点,依题意有:,所以有:

          

此解法实际上是把三棱锥一分为二,三棱锥B-PAD的底面是直角三角形,高就是BD,从而大大简化了计算.这种分割的方法也是立体几何解题中的一种重要策略.它化复杂为简单,化未知为已知.

思路2   从点A出发的三条棱两两夹角为,故可补形为正四面体.

如图,延长AP至S,使PA=PS,连SB、SC,于是四面体S-ABC为边长等于2a的正四面体,而且

从上述的六个方面,我们可以看到,在立体几何的学习中如果我们能正确了解图形,合理利用图形,不断变化图形,一定可以使我们的学习更上一个台阶.